Tips och lösning till U 22.6
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Eftersom \displaystyle F :s matris \displaystyle A innehåller i sina kolonner bilden av basvektorerna, så är
A=\left(\begin{array}{rrr}2&1&3\\1&2&3\\0&0&1\end{array}\right)
Vi löser sekularekvationen
0=\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{rrr}{2-\lambda}&1&3\\1&{2-\lambda}&3\\0&0&{1-\lambda}\end{array}\right| =(1-\lambda)((2-\lambda)^2-1)=(1-\lambda)^2 (3-\lambda).
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_{1,2}=1 och \displaystyle \lambda_{3}=3 .
För \displaystyle \lambda_{1,2}=1 får vi
\left(\begin{array}{rrr}{1}&1&3\\1&1&3\\0&0&{0}\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_1+x_2+3x_3=0.
Sätter vi \displaystyle x_3=-t och \displaystyle x_2=-s får vi att tillhörande egenvektorer är
\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} s+3t\\-s\\-t\end{array}\right) =s\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 1\\-1\\0\end{array}\right) +t\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 3\\0\\-1\end{array}\right).
Vi kan välja t.ex.,
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 1\\-1\\0\end{array}\right)
och \displaystyle \boldsymbol{v}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r} 3\\0\\-1\end{array}\right). .
För \displaystyle \lambda_{3}=3 får vi
\left(\begin{array}{rrr}{-1}&1&3\\1&{-1}&3\\0&0&{2}\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_3=0,\ x_1-x_2=0.
Tillhörande egenvektor är alltså
\displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} 1\\1\\0\end{array}\right) .
Egenvektorerna är en bas för \displaystyle {\bf R}^3 , ty dessa är linjärt oberoende då \displaystyle \left|\begin{array}{rrr} 1&3&1\\-1&0&1\\0&-1&0\end{array}\right|=2\neq0 .
