Tips och lösning till U 11.4a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Linjära höljet \displaystyle U=[M] är mängden av alla linjärkombinationer i
\displaystyle M , dvs \displaystyle U är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4 sådana att
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3,
dvs
\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\\1&-1&-1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right) \Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&-2&0\\0&0&-2\\0&0&0 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} x_1\\ x_2-x_1\\ x_3 -x_1\\ x_4 -x_3-x_2+x_1\end{array}\right)
För att \displaystyle \boldsymbol{u} skall få tillhöra \displaystyle U så måste \displaystyle \boldsymbol{u} :s koordinater uppfylla ekvationen
x_1-x_2-x_3+x_4=0.
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{u} är godtycklig visar det vad som krävs av en vektor för att få tillhöra \displaystyle U . Därmed får vi att
U=\{\boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1-x_2-x_3+x_4=0\}.
Den geometriska tolkningen av underrummet \displaystyle U är att \displaystyle U är ett hyperplan i \displaystyle {\bf R}^4 .
