Tips och lösning till U 7.7a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
En kvadratisk matris \displaystyle A är inverterbar med inversen
\displaystyle A^{-1} om \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E.
Om kolonnerna i \displaystyle A^{-1} är \displaystyle X_1
och \displaystyle X_2, dvs \displaystyle A^{-1}=(X_1\ X_2), så får vi att
A A^{-1}=E\Leftrightarrow A (X_1\ X_2)=(E_1\ E_2)
som är två ekvationsystem \displaystyle AX_1=E_1 och \displaystyle A X_2= E_2.
Eftersom det är samma radopertaioner som ska utföras i båda
ekvationssystemen (det är ju samma matris \displaystyle A i båda), så löser vi
de systemen samtidigt. Vi får
\left(\begin{array}{rr}1&2\\3&5\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \{\mbox{rad2-3rad1}\} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|rr}1&2\\0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr|rr} 1&0\\-3&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|rr}1&0\\0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr|rr}-5&2\\3&-1\end{array}\right).
Alltså är \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}{-5}&{2}\\{3}&{-1}\end{pmatrix}.
