Tips och lösning till övning 3.7
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{u}+3\boldsymbol{v} är ortogonal mot \displaystyle 2\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} , så är
På samma sätt följer att
Vi får då följande ekvationssystem
\left\{\begin{array}{lcl}2| \boldsymbol{u}|^2+5\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+|\boldsymbol{v}|^2&=&0\\ 2|\boldsymbol{u}|^2+14\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}+7|\boldsymbol{v}|^2&=&0\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{lcl} |\boldsymbol{v}|^2&=&-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\\ |\boldsymbol{u}|^2&=&-4\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{lcl} |\boldsymbol{v}|&=&\sqrt{-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}\\ |\boldsymbol{u}|&=&2\sqrt{-\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}} \end{array}\right.
Vi ser här att \displaystyle \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}<0, vilket visar att vinkeln \displaystyle \theta mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och \displaystyle \boldsymbol{v} är trubbig och uppfyller
\displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|}<0, dvs \displaystyle \pi/2<\theta<3\pi/2. Vi har att
\cos\theta=\frac{\ \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{u}}{| \boldsymbol{v}|| \boldsymbol{v}|}
=\frac{ \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{v}}{2\sqrt{(\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v})^2 }}
=\frac{ \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}}{2(-\boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v}) }=-\frac{1}{2}.
Detta ger att \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}.
