Tips och lösning till övning 3.8b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är en linjärkombination av
\displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1
om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så
att
\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}.
Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:
\begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\3\\{2}\end{pmatrix}\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\end{array}\right).
Detta system saknar lösning. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_2 inte en linjärkombination av
\displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är utom räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför inte heller i samma plan som spänns upp av mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.
