Tips och lösning till övning 3.18b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Uttryck vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} och basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}.
Tips 2
Du får nu \displaystyle \boldsymbol{u} på följande två sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =\boldsymbol{u} =2 \boldsymbol{f}_1 +3 \boldsymbol{f}_2 -2 \boldsymbol{f}_3 .
Tips 3
Lös den ekvation du fick och kontrollera sedan att \displaystyle \boldsymbol{f}_3 uppfyller det villkor du räknade fram i a-uppgiften.
Lösning
Av alla \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \notin U söker vi den som uppfyller
\boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =\boldsymbol{u} =2 \boldsymbol{f}_1 +3 \boldsymbol{f}_2 -2 \boldsymbol{f}_3 = 2\boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{e}_1 +3\boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3 =2(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2 \boldsymbol{e}_2 +x_3 \boldsymbol{e}_3 ).
Om vi hyfsar till högra ledet, så får vi
\boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =(5+2x_1) \boldsymbol{e}_1 + (5+2x_2) \boldsymbol{e}_2 + (-3+2x_3) \boldsymbol{e}_3,
dvs
\displaystyle x_1=-2, \displaystyle x_2=-4 och \displaystyle x_3=2 . Alltså skall vi välja
\displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} -2\\ -4\\ 2\end{pmatrix} .
Vi kontrellerar också att \displaystyle \boldsymbol{f}_3\notin U, \displaystyle \boldsymbol{f}_1 , \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 är en bas för rummet.
