Tips och lösning till övning 3.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vektorerna ligger i samma plan om de är linjärt beroende.
Tips 2
Använd definition 2.15 för att undersöka om vektorerna är linjärt beroende.
Tips 3
Du får nu ekvationsystemet \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u} +\lambda_2 \boldsymbol{v}+\lambda_3 \boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\lambda_2 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix} +\lambda_3 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} som du löser på sedvanligt sätt. Vektorerna i samma plan om det finns andra lösningar än den triviala lösningen.
Lösning
Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w} ligger i samma plan om mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} är linjärt beroende. Vi undersöker därför linjärt beroende och får att
\lambda_1 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+\lambda_2 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}
+\lambda_3 \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\-4\\5\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}har lösningen \displaystyle \lambda_1=-3t , \displaystyle \lambda_2=2t , \displaystyle \lambda_3=t . Detta betyder att mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} är linjärt beroende och därmed ligger alla tre vektorerna i samma plan. Dessutom gäller relationen
