Tips och lösning till övning 3.4
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Låt den sökta vektorn tex beskrivas som \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} .
Tips 2
Använd definitionen på skalärprodukt (1.4) för att bestämma vinkeln mellan \displaystyle \boldsymbol{u} och de övriga vektorerna.
Tips 3
Genom att \displaystyle \cos\theta skall vara lika erhålles tre ekvationer ur \displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_1}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_1|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_2}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_2|}=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}_3}{|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}_3|}
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} bildar samma vinkel \displaystyle \theta med \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 om
Insättning samt förkortning av \displaystyle |\boldsymbol{u}| ger
\left\{\begin{array}{lcl} \frac{x+y+z}{\sqrt3} &=&\frac{x+y}{\sqrt2}\\ \frac{x+y+z}{\sqrt3} &=&x\\ \frac{x+y}{\sqrt2} &=&x\\
\end{array}\right.
Ur tredje ekvationen får vi att \displaystyle y=(\sqrt2-1)x. Vi sätter in detta i andra ekvationen och får att \displaystyle z=(\sqrt3-\sqrt2)x. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}=t\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\\sqrt2-1\\\sqrt3-\sqrt2\end{pmatrix}.
