Tips och lösning till U 22.32
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationssystemet kan skrivas \displaystyle \boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y} , där \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}1&1\\3&-1\end{array}\right) . Matrisen \displaystyle A har egenvärdena \displaystyle \lambda_{1}=-2 och \displaystyle \lambda_{2}=2 med tillhörande egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{v}_{1}=(1,-3)^t resp. \displaystyle \boldsymbol{v}_{2}=(1,1)^t .
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_{1} och \displaystyle \boldsymbol{v}_{2} är linjärt oberoende säger Sats 18.15 att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{-1} .
Substitutionen \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} ger att
\boldsymbol{y}'=A\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{y}'=TDT^{-1}\boldsymbol{y}\Leftrightarrow T^{-1}\boldsymbol{y}'=DT^{-1}\boldsymbol{y}
\Leftrightarrow\boldsymbol{z}'=D\boldsymbol{z}\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{lcl}z'_1(t)&=&-2z_1(t)\\z'_2(t)&=&2z_2(t)\end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle z_1=c_e^{-2t} , \displaystyle z_2=c_2e^{2t} .
Allmän lösning är alltså \displaystyle \boldsymbol{y}=T\boldsymbol{z} , dvs
y_1(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{2t},\qquad y_2(t)=-3c_1e^{-2t}+c_2e^{2t}.
Vi bestämmer nu den speciella lösningen som uppfyller begynnelsevillkoret
\displaystyle y_1(0)=1 , \displaystyle y_2(0)=0 . Vi har
\left\{\begin{array}{rcl}y_1(0)&=&1\\y_2(0)&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1+c_2&=&1\\-3c_1+c_2&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}c_1&=&1/4\\c_2&=&3/4\end{array}\right.
är \displaystyle y_1(t)=\frac{1}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} och \displaystyle y_2(t)=-\frac{3}{4}e^{-2t}+\frac{3}{4}e^{2t} .
