Tips och lösning till U 22.31
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi söker gemensamma punkter mellan ytan \displaystyle Q=9 och enhetssfären \displaystyle S .
Ytan \displaystyle Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 , där \displaystyle A
har egenvärden \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=9 .
Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] , \displaystyle E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] .
I kanonisk bas är \displaystyle Q=9y_2^2+9y_3^2=9 och
enhetssfären \displaystyle S är \displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 .
Gemensamma punkter sökes bland
\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1
som i gamla basen har koordinaterna
0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3.
Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan
planet \displaystyle 2x_1+x_2-2x_3=0 och enhetssfären.
