Tips och lösning till U 22.29

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Den kvadratiska formen kan skrivas på matrisform enligt

Q=x21+x22+x23+2x1x2+2x1x3−2x2x3=(x1 x2 x3)11111−11−11x1x2x3=XtAX

Eftersom A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att A är diagonaliserbar, dvs A=TDTt.

Egenvärdena till A är 1=−1, 2=2 och 3=2 med tillhörande ON-bas av egenvektorer 1=13−111, 2=12101, och 3=1612−1

I kanonisk bas, dvs i ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater Y, där X=TY kan vi skriva

Q=x21+x22+x23+2x1x2+2x1x3−2x2x3=−y12+2y22+2y32

Enhetssfären är återigen en enhetssfär även efter bytet till kanonisk bas, ty

1=x21+x22+x23=XtX=(TY)tTY=YtTtTY=YtY=y12+y22+y32

i) För att bestämma största värdet hos Q skattar vi Q uppåt, dvs

Q=−y12+2y22+2y322y12+2y22+2y32=2(y12+y22+y32)=1=2

Vi får alltså att Q:s största värde är 2 som antas i punkter på enhetscirkeln y1=0, y22+y32=1. Vi kan också välja att beskriva enhetscirkeln som skärningen mellan planet y1=0 och enhetssfären y12+y22+y32=1. Vi ska nu gå tillbaka och skriva planet y1=0 i dem gamla koordinaterna X=TY, där Y=TtX och Yt=XtT.

Vi får

0===y1=(y1 y2 y3)100=Yt100=XtT100(x1 x2 x3)−131313120121626−16100(x1 x2 x3)−131313=−13x1+13x2+13x3

Därmed har vi visat att Q antar sitt största värde 4 på skärningen mellan planet x1−x2−x3=0 och enhetssfären x21+x22+x23=1. Man kan visa att denna skärning är en ellips.

ii) För att bestämma minsta värdet hos Q skattar vi \displaystyle Q nedåt, dvs

Vi får att \displaystyle Q antar sitt minsta värde \displaystyle -2 i punkterna \displaystyle y_1=\pm1 , \displaystyle y_2=y_3=0 . I gamla koordinater ges dessa punkter av

\displaystyle Q antar alltså sitt minsta värde \displaystyle -1 i punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt3}(-1,1,1) .