Tips och lösning till U 22.25

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vi skriver kurvan på matrisform enligt

där \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}17&-6\\-6&8\end{array}\right) . Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^t .

Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=5 , och \displaystyle \lambda_2=20 med tillhörande ON-bas av egenvektorer \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{cc}1\\2 \end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt5}\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{c}2\\-1 \end{array}\right).

I kanonisk bas, dvs i en ON-bas av egenvektorer och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY kan kurvan skrivas

Vi ser nu att kurvan \displaystyle y_1^2+4y_2^2=4 är en ellips.

Låt \displaystyle (y_1,y_2) vara en godtycklig punkt på ellipsen. Avståndet \displaystyle d från denna punkt till origo ges av Pythagoras sats, \displaystyle d=\sqrt{y_1^2+y_2^2} . Vi får då

Alltså är \displaystyle d\leq2 och \displaystyle d_{\mbox{max}}=2 i punkterna \displaystyle y_1=\pm2 , \displaystyle y_2=0 .

Vidare är

Detta ger att \displaystyle d\geq1 och \displaystyle d_{\mbox{min}}=1 i punkterna \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2=\pm1 .

I gamla koordinater ges närmaste punkter till origo och punkter som ligger längst bort från origo av

resp.

Alltså ligger punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt5}(2,-1) närmast origo och punkterna \displaystyle \pm \frac{1}{\sqrt5}(1,2) längst bort från origo.