Tips och lösning till U 22.22c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationen på matrisform blir
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=1
Eftersom \displaystyle A är symmetrisk så följer av spektralsatsen att \displaystyle A är
diagonaliserbar, dvs \displaystyle A=TDT^{t} .
Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=-2 , \displaystyle \lambda_2=-2 och \displaystyle \lambda_3=1 . Tillhörande ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} av egenvektorer är \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt6}\left(\begin{array}{r} 1\\2\\1\end{array}\right) , \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}\left(\begin{array}{r} -1\\0\\1\end{array}\right) resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt3}\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) .
Alltså är \displaystyle A diagonaliserbar med \displaystyle A=TDT^{t} , där \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) och
\displaystyle T=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{rrr} 1/{\sqrt6} &-1/{\sqrt2}&1/{\sqrt3}\\2/{\sqrt6}&0&1/{\sqrt3}\\1/{\sqrt3}&-1/{\sqrt3}&1/{\sqrt3}\end{array}\right) är ortogonal.
Ekvationen kan i den nya ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} och med nya koordinater \displaystyle Y , där \displaystyle X=TY skrivas
-x_1^2-x_2^2-x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3=1
X^tAX=1 \Leftrightarrow (TY)^tTDT^tTY=1 \Leftrightarrow Y^tT^tTDT^{t}TY=1 \Leftrightarrow Y^tDY=1
(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{rrr}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)=1
-2y_1^2-2y_2^2+y_3^2=1.
Detta visar att ekvationen beskriver en tvåmantlad hyperbolid.
