Tips och lösning till U 22.19c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
\displaystyle F :s matris \displaystyle A_3 är ortogonal med \displaystyle \det A_3=1 . Vidare har \displaystyle F endast ett reellt egenvärde \displaystyle \lambda_1=1 . De två andra är komplexa \displaystyle \lambda_{2,3}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt3}{2} . Alltså är \displaystyle F en vridning moturs kring en rotationsaxel parallell med egenvektorn \displaystyle t(1,-1,1)^t tillhörande \displaystyle \lambda_1 . Vridningen sker i normalplanet \displaystyle x_1-x_2+x_3=0 som är ortogonalt mot rotationsaxeln. Vi tar en vektor i normalplanet, t.ex., väljer vi \displaystyle (1,1,0)^t och bestämmer vinkeln med dess bild
F((1,1,0)^t)= \frac{1}{3} \left(\begin{array}{rrr} 2&1&2\\ {-2}&2&1\\ {-1}&{-2}&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\1\\0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1 \end{array}\right).
Vinkeln \displaystyle \theta kan beräkna enligt
\cos\theta=\frac{F((1,1,0)^t)\cdot(1,1,0)^t}{|F((1,1,0)^t)|\cdot|(1,1,0)^t|}=\frac{1}{2},
dvs \displaystyle \theta=\frac{\pi}{3} .
Alltså är \displaystyle F en rotation moturs vinkeln \displaystyle \frac{\pi}{3} kring en axella parallell med linjen \displaystyle t(1,-1,1)^t .
