Tips och lösning till U 22.19b

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Avbildningen \displaystyle F har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=1 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=0}=[(1,1,1)^t] , \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ 2x_1-2x_2-x_3=0.\} .

Vidare är \displaystyle \det A_2=0 samt \displaystyle \dim N(F)=1 där \displaystyle N(F)=E_{\lambda=0} och \displaystyle \dim V(F)=2 , där \displaystyle V(F)=E_{\lambda=1} .

Avbildningen \displaystyle F är tydligen en projektion på \displaystyle E_{\lambda=1} men eftersom \displaystyle F inte är symmetrisk så är \displaystyle F inte en ortogonal projektion, ty projektionen är inte parallell med normalen \displaystyle (2,-2,-1)^t utan parallell med linjen \displaystyle E_{\lambda=0} .

Avbildningen \displaystyle F är alltså en sned projektion på planet \displaystyle E_{\lambda=1} parallellt med linjen \displaystyle E_{\lambda=0} .

Den geometriska tolkningen av \displaystyle F  följer också av att matrisen \displaystyle A_2 är diagonaliserbar

ty \displaystyle F har matrisen \displaystyle D_2 i en bas av egenvektorer, där kan vi se att \displaystyle F är en sned projektion i planet som spänns upp av egenvektorerna \displaystyle (1,2,-2)^t och \displaystyle (2,1,2)^t parallellt med linjen \displaystyle t(1,1,1)^t . (Observera att \displaystyle F inte har en ON-bas av egenvektorer och därmed kan vi inte använda \displaystyle T^t .)