Tips och lösning till U 22.18
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 5&4\\4&5 \end{array}\right) .
Om \displaystyle A är diagonaliserbar med positiva egenvärden
så är
A=TDT^{-1}=TD^{1/2}D^{1/2}T^{-1}=\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}\underbrace{TD^{1/2}T^{-1}}_{=B}=B^2.
Detta betyder att om vi sätter \displaystyle B=TD^{1/2}T^{-1} , så får vi att
\displaystyle B^2=A . Egenvärdena till \displaystyle A är \displaystyle \lambda_1=9 , och \displaystyle \lambda_2=1 .
Tillhörande egenvektorer är \displaystyle (1,1)^t resp. \displaystyle (1,-1)^t .
Låt \displaystyle T=\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right) och
\displaystyle D=\left(\begin{array}{rr} 9&0\\0&1 \end{array}\right) .
Då är \displaystyle T^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right) och
\displaystyle D^{1/2}=\left(\begin{array}{rr} 3&0\\0&1 \end{array}\right) </math>.
Vi får alltså att
B=TD^{1/2}T^{-1}=\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{rr} 3&0\\0&1 \end{array}\right) \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr} 1&1\\1&-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 2&1\\1&2 \end{array}\right).
