Tips och lösning till U 22.16b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi löser sekularekvationen. En utveckling längs första raden ger
\left(\begin{array}{rrr}{-1-\lambda}&0&2\\0&{1-\lambda}&{-2}\\{2}&{-2}&{-\lambda}\end{array}\right) =(-1)^{(1+1)} (-1-\lambda) \left(\begin{array}{rr} {1-\lambda}&{-2}\\{-2}&{-\lambda} \end{array}\right)+ (-1)^{(3+1)} 2 \left(\begin{array}{rr} 0&{1-\lambda}\\{2}&{-2} \end{array}\right)
=(-1-\lambda)(-\lambda(1-\lambda)-4)+2((0-2(1-\lambda)) =9\lambda-\lambda^3=\lambda(3-\lambda)(3+\lambda)
Egenvärdena är därmed \displaystyle \lambda_1=3 , \displaystyle \lambda_2=0 ,
\displaystyle \lambda_3=-3 ,
En ON-bas av tillhörande egenvektorer är
\displaystyle \boldsymbol{v}_1=\frac{1}{3}(1,-2,2)^t ,
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{3}(2,2,1)^t , och
\displaystyle \boldsymbol{v}_2=\frac{1}{3}(-2,2,1)^t .
Vi får
\displaystyle T=\frac{1}{3} \left(\begin{array}{rrr} 1&2&{-2}\\{-2}&2&1\\2&1&2 \end{array}\right)
samt
T^tAT=\left(\begin{array}{rrr} 3&0&0\\0&0&0\\0&0&{-3} \end{array}\right) =D.
