Tips och lösning till U 22.9b

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Kolonn 3 adderas till kolonn 1 i sekularekvationen ger

−−1−11−−111−=1−0−1−1−−111−

Multiplicera kolonn 3 med och addera till kolonn 2

1−0−1−1+0−1−211−=(−1)(2+3)1−−1−1+−1−2

=−[(1−)(−1−2)−(−1−)(1+)]=−(2+3)

Egenvärdena är 1=0, 2=i3  och 3=2=−i3 . Tillhörande egenvektorer får vi om vi löser systemet (A−E)X=0.

För 1=0 får vi en normerad egenvektor 13(1−11)t.

För 2=i3  får vi en normerad egenvektor 2=23−1−i3231−i313t , se nedan.

För 3=−i3  får vi

i3−1−11i3−111i3000radbyte−1i3−1i31−111i3000

−100i3−2−1−i311+i3−1+i3000−100i3111(−1−i3)2(−1−i3)2000

ty i sista raden så är −1−i3−1+i3=2−1−i3. Sätt \displaystyle x_3=t , så är \displaystyle x_2=\frac{1+i\sqrt3}{2} och

så att tillhörande egenvektorn är \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\Big(\frac{-1+i\sqrt3}{2\sqrt3},\frac{1+i\sqrt3}{2\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}\Big)^t .

Observera att egenvektorerna är också varandras komplexa konjugat, dvs \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\bar{\boldsymbol{v}}_2 precis som egenvärdena.

Det är också värt och notera att skalärprodukten i det komplexa fallet innehåller också konjugatet. Om \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t och \displaystyle \boldsymbol{y}=(y_1,y_2,y_3)^t är komplexa vektorer så ges skalärprodukten av

Vi kan kontrollera att \displaystyle ||\boldsymbol{v}_1||^2=(\boldsymbol{v}_1 | \bar{\boldsymbol{v}}_2)=1 , \displaystyle ||\boldsymbol{v}_2||^2=1 och \displaystyle (\boldsymbol{v}_1 | \boldsymbol{v}_2)=0 .

Nu till matrisen \displaystyle T . Vi låter \displaystyle T innehålla i sina kolonner egenvektorerna och \displaystyle T^* innehålla konjugatet av egenvektorerna i sina rader, så att \displaystyle T^*T=TT^*=E , där

I det reella fallet, så sammanfaller \displaystyle T^* med \displaystyle T^t , dvs \displaystyle T^*=T^t .

Vi har nu visat att