Tips och lösning till U 22.8d
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi adderar rad 2 till rad 3 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&3&3\\ 3&1-\lambda&3\\ -3&-3&-5-\lambda \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&3&3\\ 3&1-\lambda&3\\ 0&-2-\lambda&-2-\lambda \end{array}\right|
= \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&0&3\\ 3&-2-\lambda&3\\ 0&0&-2-\lambda \end{array}\right| =(-2-\lambda)^2(1-\lambda)
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=-2 .
För \displaystyle \lambda_1=1 är tillhörande egenvektorn \displaystyle t(1,1,-1)^t .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=-2 får vi
\left(\begin{array}{rrr} 3&3&3\\ 3&3&3\\ -3&-3&-3\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=0
och därmed är tillhörande egenrum
\displaystyle E_{\lambda=-2}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0] .
Som egenvektorer väljer vi \displaystyle t(1,-1,0)^t och \displaystyle (1,0,-1)^t .
Med
\displaystyle
T=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\
1&-1&0\\
-1&0&-1
\end{array}\right)
,
\displaystyle
T^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\
1&0&1\\
-1&-1&-2\\
\end{array}\right)
och
\displaystyle
D=\left(\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&-2&0\\
0&0&-2
\end{array}\right)
kan vi diagonalisera matrisen \displaystyle A , så att
\displaystyle A=TDT^{-1} .
