Tips och lösning till U 22.7
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi löser sekularekvationen
\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{cc} {2-\lambda}&{-1}\\{1}&{-\lambda}\end{array}\right| =-\lambda(2-\lambda)+1=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Egegnvärdena är \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=1 .
Tillhörande egenvektorerna får vi om vi
löser systemet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} :
\left(\begin{array}{rr}1&-1\\1&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} 0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \boldsymbol{v}_1=t(1,1)^t.
Vi har färre antal egenvektorer än egenvärden; detta är ett exempel på
när den geometriska multipliciteten är mindre än den algebraiska..
Vi väljer att fylla ut med \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,-1)^t som är ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{v}_1 .
En ny ON-bas skulle därmed vara \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^t
och \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^t .
På så sätt får vi att \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt2} \left(\begin{array}{rr}1&1\\1&-1\end{array}\right) och därmed
A_{f}=TA_eT^t= \left(\begin{array}{rr}1&2\\0&1\end{array}\right).
