Tips och lösning till U 22.3a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle A vara \displaystyle F :s matris. \displaystyle \lambda är ett egenvärde till \displaystyle F med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}} X om
F(\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{v}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow
\underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow
(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},
där \displaystyle E är enhetsmatrisen. För att undvika trivial lösningen \displaystyle X=\boldsymbol{0} , söker vi \displaystyle \lambda som är en rot till
sekularekvationen \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 . Vi får
0=\det(A-\lambda E)=\trdetc{3-\lambda}100{3-\lambda}000{1-\lambda}=(1-\lambda)(3-\lambda)^2.
Alltså är egenvärden \displaystyle \lambda_1=1 ,
\displaystyle \lambda_{2,3}=3 .
