Tips och lösning till U 15.6a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi har att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 är linjärt oberoende vilket ger att \displaystyle \dim W=3 , Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , dvs vi söker \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 så att
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3,
ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
så vill vi att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
ska bli så litet som möjligt.
Vi sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2 + \lambda_3 \boldsymbol{v}_3
\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\0\\1\end{array}\right) +\lambda_3 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)
Detta system saknar lösning! MK-metoden där vi läser normalekvationen ger
\left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&0&0\\2&0&-1\\2&1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\\\lambda_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&0&2&2\\1&0&0&1\\1&0&-1&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\3\\6\\2\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r}9&3&9&18\\3&2&6&4\\9&6&27&6\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&8/3\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&-2/3\end{array}\right.
Alltså får vi att
\boldsymbol{u}_{\parallel W} =\frac{8}{3} \boldsymbol{v}_1 + 0\cdot \boldsymbol{v}_2-\frac{2}{3}\boldsymbol{v}_3 = \frac{8}{3}\left(\begin{array}{r}1\\0\\2\\2\end{array}\right) -\frac{2}{3} \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\\5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2\\0\\6\\2\end{array}\right)
