Tips och lösning till U 13.17

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vi behöver bestämma \displaystyle \dim W och en ON-bas i \displaystyle W . För detta behöver vi antalet linjärt oberoende vektorer som spänner upp \displaystyle W . Vi börjar därför med att bestämma skärningsmängden mellan de båda hyperplanen

                                             x_1&-&x_2&+&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right.
                \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
                                             &&&&x_3&&&=&0\end{array}\right.

som ges av \displaystyle x_4=-t , \displaystyle x_3=0 , \displaystyle x_2=s och \displaystyle x_1=s+t , dvs

Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,1,0,0)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0,-1)^t en bas för \displaystyle W , så att \displaystyle W=[(1,1,0,0)^t,(1,0,0,-1)^t] och \displaystyle \dim W=2 . Vi använder G-S process på \displaystyle W . Låt

Sätt

och låt

Vi kompletterar nu basen för \displaystyle W till hela \displaystyle {\bf E}^4 genom att söka \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 , så att

Systemet har lösningen \displaystyle x_1=t , \displaystyle x_2=-t . \displaystyle x_3=s , \displaystyle x_4=t vilket ger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{w}_1=t(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}_2=(0,0,0,1,0)^t . Vi observerar att \displaystyle \boldsymbol{w}_1 och \displaystyle \boldsymbol{w}_2 är ortogonala. Vi har alltså att \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t. \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(0,0,1,0)^t är en ON-bas \displaystyle \in{\bf E}^4 .