Tips och lösning till U 13.15a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi undersöker via linjärt beroende om \displaystyle W innehåller några överflödiga vektorer.
Kalla vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1 , \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 .
Av definitionen av linjärt beroende följer att systemet
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0\\ 1&2&3&0\\ -1&-1&-1&0\\ -1&-2&-3&0\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0\\ 0&1&2&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{array}\right)
har parameterlösningen \displaystyle \lambda_1=t , \displaystyle \lambda_2=-2t och \displaystyle \lambda_3=t . Alltså råder följande beroendesamband mellan vektorerna
t\boldsymbol{v}_1-2t\boldsymbol{v}_2+t\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}.
Vi ser att en av vektorerna är överflödig och vi stryker t.ex., \displaystyle \boldsymbol{v}_3 från \displaystyle W , så att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3]=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] med \displaystyle \dim W=2 .
Låt
\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{ ||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t.
G-S process ger
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(-1,1,1,-1)^t.
Normera, så att
\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{2}(-1,1,1,-1)^t.
