Tips och lösning till U 13.14a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi bestämmer riktnngsvektorerna som spänner upp \displaystyle V . Vi sätter \displaystyle x_4=t , \displaystyle x_3=s och \displaystyle x_2=r och löser ut \displaystyle x_1=-2r+s-4t . Varje godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t som tillhör \displaystyle V har alltså formen
\boldsymbol{v}=r(-2,1,0,0)^t+s(1,0,1,0)^t+t(-4,0,0,1)^t.
Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,0,1,0)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(-2,1,0,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(-4,0,0,1)^t är därmed en bas för underrummet \displaystyle V , dvs \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] . Vi använder G-S för att finna en ON-bas i \displaystyle V . Låt
\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{ ||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1,0)^t.
Bilda hjälpvektorn
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{u}_2-(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=(-1,1,1,0)^t.
Vi får den andra basvektorn genom att normera \displaystyle \boldsymbol{f}_2 . Låt
\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1,0)^t.
Vi bildar en ny hjälpvektor
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{u}_3-(\boldsymbol{u}_3|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-(\boldsymbol{u}_3|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{3}(-2,-4,2,3)^t.
Tredje basvektorn får vi genom att normera \displaystyle \boldsymbol{f}_2 . Låt
\boldsymbol{e}_3=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_3}\boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt{33}}(-2,-4,2,3)^t.
Vi utvidgar ON-basen \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} för \displaystyle W till
en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} för hela \displaystyle {\bf E}^4 genom
att välja \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ortogonal mot dem övriga basvektorerna, dvs
\left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_2)&=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_3)&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcl} x_1+x_3&=&0\\ -x_1+x_2+x_3&=&0\\ -2x_1-4x_2+2x_3+3x_4&=&0 \end{array}\right.
Systemet ger vektorn \displaystyle (1,2,-1,4)^t som vi normerar.
Alternativt tar vi en normerad {\bf normal} \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{\sqrt{22}} (1,2,-1,4)^t som är ortogonal mot hyperplanet
W=\{\boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\}.
