Tips och lösning till U 13.13c
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Lösning
Enligt Sats 12.14 kan varje godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{u} skrivas entydigt som en linjärkombination av ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} via
\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}| \boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1+(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2
+(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{e}_3)\boldsymbol{e}_3+(\boldsymbol{u}
|\boldsymbol{e}_4)\boldsymbol{e}_4,
där talen \displaystyle (\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_j) , \displaystyle j=1,2,3,4 är koordinaterna till vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} .
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=(2,2,6,2)^t har koordinaterna
(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_1)=\frac{1}{2}((2,2,6,2)^t|(1,1,1,1)^t)=6,
(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_2)=\frac{1}{2}((2,2,6,2)^t|(-1,1,1,-1)^t)=2,
(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_3)=\frac{1}{\sqrt{10}} ((2,2,6,2)^t|(-2,1,-1,2)^t)=-\frac{4}{\sqrt{10}},
och
(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{e}_4) = \frac{1}{\sqrt{10}} ((2,2,6,2)^t|(1,2,-2,-1)^t)=-\frac{8}{\sqrt{10}},
Därmed ges \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av
\boldsymbol{u}=6\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2-\frac{4}{\sqrt{10}}\boldsymbol{e}_3-\frac{8}{\sqrt{10}}\boldsymbol{e}_4 =\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{c}6\\2\\-4/\sqrt{10}\\-8/\sqrt{10}\end{array}\right).
