Tips och lösning till U 13.12b

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Fyll ut till en ON-bas för hela \displaystyle {\bf E}^4 med en ON-bas \displaystyle \{\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} från \displaystyle W^\perp .

Vi söker därför vektorer \displaystyle \boldsymbol{w}\in W^{\perp} som uppfyller

                                             ( \boldsymbol{w} | \boldsymbol{e}_2) &=&0

       \Leftrightarrow
       \left\{\begin{array}{rcl}x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\x_1-x_2+x_3-x_4&=&0\end{array}\right.

Detta system har lösningen \displaystyle \boldsymbol{w}_1=(1,1,-1,-1)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}_2=(1,-1,-1,1)^t .

Då dessa redan är ortogonala behöver vi bara normera dem och vi får därmed ON-basen \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{2}(1,-1,-1,1)^t i \displaystyle W^{\perp} .

Alltså fyller vi ut med \displaystyle \boldsymbol{e}_3 och \displaystyle \boldsymbol{e}_4 till en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4) för hela \displaystyle {\bf E}^4 .