Tips och lösning till U 13.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Underrummet \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1=(2,1,0,1)^t,\boldsymbol{v}_2=(4,-5,1,3)^t] .
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 är inte parallella så är med \displaystyle \dim W=2 .
Vi använder Gram-Schmidt prosess för att bestämma en ON-bas i \displaystyle W .
Låt \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(2,1,0,1)^t .
Vi bildar hjälpvektorn
\begin{array}{rcl}
\boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\frac{1}{6}\left\{\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\right\}
\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{r}4\\-5\\1\\3\\\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\\1\\\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{r}2\\-6\\1\\2\\\end{array}\right)
\end{array}
Normera, så att \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{3\sqrt5}(2,-6,1,2)^t . Alltså är \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 en ON.bas i \displaystyle W .
