Tips och lösning till U 11.15a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Dimensionen för \displaystyle U är antal linjärt oberoende
vektorer som spänner upp \displaystyle U . Sätt \displaystyle x_2=t . Då är \displaystyle x_1=-t . Vidare, sätt \displaystyle x_3=s och \displaystyle x_4=r .
Då kan alla \displaystyle \boldsymbol{x}\in U ges på formen
\boldsymbol{x}=t(-1,1,0,0)^t+s(0,0,1,0)^t+r(0,0,0,1)^t.
Nu är vektorerna \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t och \displaystyle 0,0,0,1)^t linjärt oberoende, ty beroendesambandet
\lambda_1 (-1,1,0,0)^t+\lambda_2(0,0,1,0)^t+\lambda_3(0,0,0,1)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
har endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 . Detta betyder att \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t och \displaystyle 0,0,0,1)^t är en bas för \displaystyle U och att \displaystyle \dim U=3 . Vi undersöker nu om vi kan få en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 genom att komplettera basen för \displaystyle U med vektorn \displaystyle (1,0,0,0)^t . Eftersom beroendesambandet
\lambda_1 (-1,1,0,0)^t+\lambda_2(0,0,1,0)^t+\lambda_3(0,0,0,1)^t+\lambda_4(1,0,0,0)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrrr}-1&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right)
har endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0 , så har vi visat att \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t , \displaystyle (0,0,0,1)^t och \displaystyle (1,0,0,0)^t är linjärt oberoende och därmed bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .