Tips och lösning till U 11.14a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
\displaystyle U=[\boldsymbol{u}_1=(1,0,2,1)^t,\boldsymbol{u}_2=(1,1,0,1)^t,\boldsymbol{u}_3=(2,1,2,1)^t] . Visa att mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} är linjärt oberoende, så att \displaystyle \dim U=3 .
Vi fyller ut \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\} med \displaystyle \boldsymbol{u}_4\notin U till en bas \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} för hela \displaystyle {\bf R^4} .
Alternativ 1: Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} skall vara linjärt oberoende:
\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{0}\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&1&?\\2&0&2&?\\1&1&1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&?\\0&1&0&?\\0&-2&0&?\\0&0&-1&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right).
T.ex. kan vi välja \displaystyle \boldsymbol{v}_4=(1,0,0,0)^t , ty
\left(\begin{array}{rrrr}1&1&2&1\\0&-1&1&0\\0&-2&0&0\\0&0&-1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.
Alltså är mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} en bas för hela \displaystyle {\bf R^4} .
Alternativ 2: Eftersom \displaystyle U har en deminsion upp till \displaystyle {\bf R^4} är \displaystyle U ett hyperplan i \displaystyle {\bf R^4} . Vi bestämmer därför ekvationen för linjära höljet U:
En vektor \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 , så att
\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u}\quad\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrr|r}1&1&2\\0&1&1\\2&0&2\\1&1&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow
\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrr}1&1&2\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3-2x_1+2x_2\\x_4-x_1\end{array}\right).
Alltså för att en \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ska få ligga i \displaystyle U , så måste dess koordinater uppfylla ekvationen\qquad\displaystyle 2x_1-2x_2-x_3=0 .
Vi har därmed visat att
[(1,0,2,1)^t,(1,1,0,1)^t,(2,1,2,1)^t]=U=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R^4}:2x_1-2x_2-x_3=0.\}.
En vektor \displaystyle \boldsymbol{u}_4\notin U är en vektor vars koordinator inte uppfyller ekvationen. T.ex. kan vi välja \displaystyle \boldsymbol{u}_4=(1,0,0,0)^t . Den utvidgade mängden \displaystyle \{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3,\boldsymbol{u}_4\} är nu en bas för hela \displaystyle {\bf R^4} .
