Tips och lösning till U 11.13
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle U=[\boldsymbol{u}_1=(1,1,1)^t,\boldsymbol{u}_2=(1,0,-1)^t] och \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1=(2,1,1)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,0,1)^t] .
Vi söker alltså snittmängden
U\cap V=\{\mbox{alla vektorer som ligger i både }U\mbox{ och }V\},
dvs
U\ni\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2=\boldsymbol{u}=\mu_1\boldsymbol{v}_1+\mu_2\boldsymbol{v}_2\in V.
Samlas termerna i vänstra ledet får vi ett ekvationssystem i de obekanta \displaystyle \lambda_1 , \displaystyle \lambda_2 , \displaystyle -\mu_1 och \displaystyle -\mu_2 :
\lambda_1 \left( \begin{array}{r}1\\1\\1\end{array} \right) + \lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\0\\-1\end{array}\right)- \mu_1 \left(\begin{array}{r} 2\\1\\1\end{array}\right)- \mu_2 \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right)
som har lösningen \displaystyle \lambda_1=2t , \displaystyle \lambda_2=t , \displaystyle \mu_1=2t och \displaystyle \mu_2=-t . Detta ger att \displaystyle \boldsymbol{u}=t(3,2,1)^t .
Alltså är underrummet \displaystyle U\cap V=[(3,2,1)^t] en linje genom origo. Riktningsvektorn \displaystyle (3,2,1)^t spänner upp underrummet och är därmed bas för detta rum.
Alternativ 2: Underrummet \displaystyle U är ett plan genom origo med normalen \displaystyle \boldsymbol{n}=\boldsymbol{u}_1\times\boldsymbol{u}_2=(1,-2,1)^t , dvs
U=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R}^3:\ x_1-2x_2+x_3=0\}.
På samma sätt följer att \displaystyle V=\{\boldsymbol{u}\in{\bf R}^3:\ x_1-x_2-x_3=0\} . Snittmängden \displaystyle U\cap V är alla gemensamma vektorer som finns i både \displaystyle U och \displaystyle V , dvs \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3)^t ligger i \displaystyle U och \displaystyle V om
\left\{\begin{array}{rcr}x_1-2x_2+x_3&=&0\\x_1-x_2-x_3&=&0\end{array}\right.
Detta system har lösningen \displaystyle \boldsymbol{u}=t(3,2,1)^t .
