Tips och lösning till U 11.12a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Lösningsrummet \displaystyle W till ekvationssystemet ges av
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&+&x_2&-&x_3& & &=&0\end{array}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&+&x_2&+&x_3 &+&x_4&=&0\\
& &
&-&2x_3&-&x_4&=&0\end{array}\right.
Sätter vi \displaystyle x_3=t får vi att \displaystyle x_4=-2t . Sätter vi dessutom \displaystyle x_2=-s får vi att \displaystyle x_1=s+t . Alltså består lösningsrummet \displaystyle W av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t sådana att
\boldsymbol{w}=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=
s\left(\begin{array}{r}1\\-1\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\-2\end{array}\right)
\quad\Leftrightarrow\quad
\boldsymbol{w}=s\underbrace{(1,-1,0,0)^t}_{\boldsymbol{w}_1}+t\underbrace{(1,0,1,-2)^t}_{\boldsymbol{w}_2},
dvs \displaystyle W=[\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2] . Vi kan testa utvidga med \displaystyle \boldsymbol{w}_3=(0,0,1,0)^t . Enligt definitionen för linjärt beroende så gäller att
\lambda_1\boldsymbol{w}_1+\lambda_2\boldsymbol{w}_2+\lambda_3\boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\-1&0&0\\0&1&1\\0&-2&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\end{array}\right.
Vi fortsätter utvidga med \displaystyle \boldsymbol{w}_4=(0,0,0,1)^t och undersöker linjärt
beroende:
\lambda_1\boldsymbol{w}_1+\lambda_2\boldsymbol{w}_2+\lambda_3\boldsymbol{w}_3+\lambda_4\boldsymbol{w}_4=\boldsymbol{0} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&-2&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.
Alltså är \displaystyle \underline{\boldsymbol{w}}=\{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3,\boldsymbol{w}_4\} en bas för \displaystyle {\bf R}^4 .
