Tips och lösning till U 11.7

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal 123 och 4 ej alla noll så att

11+22+33+44=0

Denna relation kan på matrisform skrivas

aaaa1aa112a2212a=A1234==0000A=0

Enligt Sats 8.17 har systemet A=0 den entydiga lösningen =0 om detA=0 och därmed är M linjärt oberoende.

Vi bryter ut a från kolonn 1:

detA=a11111aa112a2212a=10001a−1a−1011a−112−10a−2

Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut a−1 från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:

detA=(−1)1+11a(a−1)a−110111−10a−2=a(a−1)=a(a−1)a−1102−a01−10a−2

Utveckla efter rad 2:

detA=(−1)2+1a(a−1)1(−(a−2)2+1)=0

för a=1 eller a=3.

Alltså är vektorerna linjärt beroende om a=013.