Tips och lösning till U 11.7
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att
Denna relation kan på matrisform skrivas
\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.
Enligt Sats 8.17 har systemet \displaystyle A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} den entydiga lösningen \displaystyle \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} om \displaystyle \det A\neq0 och därmed är \displaystyle M linjärt oberoende.
Vi bryter ut \displaystyle a från kolonn 1:
\det A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.
Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut \displaystyle a-1 från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:
\det A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot a\cdot(a-1)\cdot \left|\begin{array}{ccc}a-1&1&-1\\1&1&0\\0&1&a-2\end{array}\right|. =a(a-1)=a(a-1) \left|\begin{array}{ccc}a-1&2-a&-1\\1&0&0\\0&1&a-2\end{array}\right|.
Utveckla efter rad 2:
för \displaystyle a=1 eller \displaystyle a=3 .
Alltså är vektorerna linjärt beroende om \displaystyle a=0,1,3 .
