Tips och lösning till U 11.7

SamverkanLinalgLIU

Version från den 8 september 2010 kl. 09.54; Geoba (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning



Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att

\displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}. 
     Denna relation kan på matrisform skrivas
\displaystyle \underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot 
        \underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}
         =\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow
         A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.

     Enligt Sats 8.17 har systemet \displaystyle  A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}  den entydiga lösningen \displaystyle  \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}  om \displaystyle  \dete A\neq0  och 
     därmed är \displaystyle  M  linjärt oberoende. Vi bryter ut \displaystyle  a  från kolonn 1:
\displaystyle \dete A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right| 
              =\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.

     Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut \displaystyle  a-1  från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:
\displaystyle \dete A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot

a\cdot(a-1)\cdot\trdetc{a-1}1{-1}11001{a-2}=a(a-1)=a(a-1)\trdetc{a-1}{2-a}{-1}10001{a-2}. 

     Utveckla efter rad 2:
\displaystyle \dete A=(-1)^{2+1}a(a-1)\cdot1(-(a-2)^2+1)=0 
     för \displaystyle  a=1  eller \displaystyle  a=3 .
     Alltså är vektorerna linjärt beroende om \displaystyle  a=0,1,3 .
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_11.7