Tips och lösning till U 11.6
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
Dvs
\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3&4\\0&2&1&1\\1&0&0&1\\4&0&2&6 \end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \\ 0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3&4\\0&2&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0 \end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \\ 0\end{array}\right)
som har lösningen \displaystyle \lambda_4=t , \displaystyle \lambda_3=-t , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_1=-t .
Alltså gäller relationen
-t\cdot\boldsymbol{v}_1+0\cdot\boldsymbol{v}_2-t\cdot\boldsymbol{v}_3+t\cdot\boldsymbol{v}_4 =\boldsymbol{0}\Leftrightarrow\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_3-\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
Vi ser att \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v}_4-\boldsymbol{v}_1 men att \displaystyle \boldsymbol{v}_2 inte är en linjärkombination i de övriga.
