Tips och lösning till U 11.5a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
i) Linjära höljet \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] är mängden av alla linjärkombinationer
i mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} ,
dvs \displaystyle V är mängden av alla \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4 sådana att
\boldsymbol{v}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3,
dvs
\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&1&-1\\0&1&0\\1&0& 0\end{array}\right|\left. \begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&1&1\\0&-1&0\\0&0& -1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \\ x_4 -x_1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\0&0&0\\0&-1&0\\0&0& -1 \end{array}\right|\left. \begin{array}{r} x_1\\ x_2-x_3-x_4+x_1\\ x_3 \\ x_4 -x_1\end{array}\right)
För att \displaystyle \boldsymbol{v}\in V så måste alltså \displaystyle \boldsymbol{v} :s koordinater uppfylla ekvationen
x_1+x_2-x_3-x_4=0.
Detta ger att
V=\{\boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf R}^4:\ x_1+x_2-x_3-x_4=0\}.
