Tips och lösning till U 11.2c
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Mängden \displaystyle M_3 består av alla vektorer \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t som
ligger i båda planen \displaystyle x_1-2x_2+3x_3=0 och \displaystyle x_2-x_3=0 , dvs \displaystyle M_3 är
skärningsmängden för båda planen. För ett \displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3)^t\in
M_3 gäller därför att
\left\{\begin{array}{rcl}x_1-2x_2+3x_3&=&0\\x_2-x_3&=&0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}x_1&=&-t\\x_2&=&t\\x_3&=&t\end{array}\right.
Alltså, \displaystyle M_3 är den räta linjen \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-1,1,1)^t . Vi ska nu undersöka om \displaystyle M_3 är rtt underrum. Låt \displaystyle \boldsymbol{x}=t(-1,1,1)^t\in M_3 och \displaystyle \boldsymbol{y}=s(-1,1,1)^t\in M_3 . Då är \displaystyle \boldsymbol{z} = \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(s+t)(-1,1,1)^t\in M_3 . Vidare är \displaystyle \lambda\boldsymbol{x}=\lambda t(-1,1,1)^t\in M_3 . Alltså är \displaystyle M_3 ett underrum.
