Tips och lösning till U 9.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationssytemet
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&2z&=&\lambda
x\\2x&&&-&2z&=&\lambda y\\-2x&+&2y&+&z&=&\lambda
z\end{array}\right.
kan på matrisform skrivas
\left(\begin{array}{rrr}1&{1}&-2\\2&0&-2\\-2&2&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) =\lambda \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) \Leftrightarrow AX=\lambda X.
Vi börjar med att flytta över de obekanta variablerna till vänstra ledet
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}
(1-\lambda)x&+&y&-&2z&=&0\\2x&-&\lambda
y&-&2z&=&0\\-2x&+&2y&+&(1-\lambda)z&=&0\end{array}\right.
som på matrisform kan skrivas
\left(\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},
där \displaystyle E är enhetsmatrisen.
Vi bestämmer nu \displaystyle \lambda så att systemet \displaystyle (A-\lambda E) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} har andra lösningar än den triviala lösningen \displaystyle \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} .
För detta kräver vi enligt Sats 8.17 att \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 .
Vi adderar rad 2 till rad 3:
\det(A-\lambda E)= \left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\-2&2&1-\lambda\end{array}\right| = \left|\begin{array}{rrr} {1-\lambda}& 1&-2 \\2 & -\lambda& -2\\0&2-\lambda&-1-\lambda\end{array}\right|.
Vi adderar kolonn 1 till kolonn 3 och därefter rad 1 till rad 3:
