Tips och lösning till U 9.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Ekvationssystemet kan skrivas på matrisformen
\displaystyle A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} där
A=\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 2& -1& 1\\ a& 1& -1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x} =\left(\begin{array}{rrr} x\\ y\\ z\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b} =\left(\begin{array}{rrr} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right).
Enligt Sats 8.17 har ekvationssystemet en entydig lösning om \displaystyle \det A.
Enligt Sats 8.17 har ekvationssystemet en entydig lösning om
\displaystyle \det A. Vi utför radoperationer på rad 1 för att få två nollor i
kolonn2. Det följer att
\begin{array}{ll} \det A&=&\left| \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 2& -1& 1\\ a& 1& -1\end{array}\right| =\left| \begin{array}{rrr} 1& -1& a\\ 1& 0& 1-a\\ 1+a& 0& a-1\end{array}\right|\\
&=&(-1)^{(1+2)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr} 1& 1-a\\ 1+a& a-1\end{array}\right|\\
&=&a^2+a-2=(a-1)(a+2)=0
\end{array}
