Tips och lösning till U 5.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0, \displaystyle P_1, \displaystyle P_2 och \displaystyle P_3 och bilda vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_3P_0}. Enligt Anmärkning 4.19, så ligger alla fyra punkterna i ett och samma plan om vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w} är linjärt beroende.
Därmed spänner de inte upp mer än ett plan och volymprodukten är då noll; se figur 4.17. Om \displaystyle O är origo i rummet, så får vi
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-t \\ t-1 \\ 1\end{pmatrix},
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-t \\0 \\ -1\end{pmatrix},
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_3P_0}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -t \\0 \\ -1\end{pmatrix},
Volymprodukten blir \displaystyle V(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w} är
\left\{ \begin{pmatrix} 1-t \\ t-1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1-t \\ 0\\ -1\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} -t \\ 0\\ -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-t \\ 0\\ (t-1)^2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -t \\ 0\\ -1\end{pmatrix} =1-t=0
för \displaystyle t=1. Alltså för \displaystyle t=1 ligger alla fyra punkterna \displaystyle P_0=(1,1,2), \displaystyle P_1=(1,1,3), \displaystyle P_2=(1,1,1) och \displaystyle P_3=(0,1,1) i sammap plan.
