Tips och lösning till U 5.8

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Kalla vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w}. Volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}, \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w} ges av \displaystyle |(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}|.

Vi har att

Vidare gäller att volymprodukten ges av

Volymen är då \displaystyle |(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}|=223 v.e.

{\bf Alternativt} kan vi beräkna volymprodukten enligt formel (4.5) i Exempel 4.10: \begin{eqnarray*}

    (\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w}&=&\left|\begin{array}{rrr}3&1&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|\\\vspace{3mm}\\
                                      &=&\mbox{gå längs 1:a raden och plocka ner elementen med minus på andra}\\
                                      &=&3\cdot\left|\begin{array}{rrr}\star&1&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|
                                          -1\cdot\left|\begin{array}{rrr}3&\star&7\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|
                                          +7\cdot\left|\begin{array}{rrr}3&1&\star\\2&-3&5\\9&0&1\\\end{array}\right|\vspace{3mm}\\
                                      &=&\mbox{stryk den rad och kolonn som }\star\mbox{ står på}\\
                                      &=&3\cdot\tvdet{-3}501-1\cdot\tvdet2591+7\cdot\tvdet2{-3}90=223
     \end{eqnarray*}