Tips och lösning till U 5.6
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0 , \displaystyle P_1 , \displaystyle P_2
och \displaystyle P_3 . Om dessa är
hörnpunkter i en parallellogram bör vi hitta två par parallella
vektorer som bildar sidorna. Låt \displaystyle O vara origo i rummet och
bilda
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1\end{pmatrix}
och
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}
Dessa vektorer spänner up parallellgrammen, ty parallellogrammens två övriga sidor startar i \displaystyle P_1 och \displaystyle P_2 och slutar i \displaystyle P_3 och är parallella med \displaystyle \boldsymbol{u} resp. \displaystyle \boldsymbol{v} enligt
\overrightarrow{P_3P_1}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_1}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\-1 \\ 1\end{pmatrix}
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_3P_2}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_2}= \begin{pmatrix} 0 \\- 2 \\ 2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1\\- 4 \\ -1\end{pmatrix} =\boldsymbol{u}
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} -5\\-1 \\ -9\end{pmatrix}, så är arean \displaystyle |\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}|=\sqrt{107} a.e.
