Tips och lösning till U 5.5
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Låt \displaystyle O vara origo i detta koordinatsystem.
Kalla punkterna \displaystyle P , \displaystyle Q och \displaystyle R .
Då ges ortsvektorerna \displaystyle \overrightarrow{OP} , \displaystyle \overrightarrow{OQ} och
\displaystyle \overrightarrow{OR} av
\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right),\quad \overrightarrow{OQ}=\left(\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right)\quad \mbox{och}\quad \overrightarrow{OR}=\left(\begin{array}{r}3\\2\\1\end{array}\right).
Låt
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}= \left(\begin{array}{r}1\\2\\1\end{array}\right) -\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}0\\1\\0\end{array}\right)
och
\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}= \left(\begin{array}{r}3\\2\\1\end{array}\right) -\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2\\1\\0\end{array}\right).
Kantvektorerna \displaystyle \overrightarrow{PQ} och \displaystyle \overrightarrow{PR} spänner upp en parallellogram vars area är \displaystyle |\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|. Triangelns area blir då \displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}| . Nu är
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}= \left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{e}_1&\boldsymbol{e}_2&\boldsymbol{e}_3\\0&1&0\\2&1&0\end{array}\right|= \boldsymbol{e}_1\left|\begin{array}{ll}1&0\\1&0\\\end{array}\right| -\boldsymbol{e}_2\left|\begin{array}{ll}0&0\\2&0\\\end{array}\right| +\boldsymbol{e}_3\left|\begin{array}{ll}0&1\\2&1\\\end{array}\right| =-2\boldsymbol{e}_3=\underline{\boldsymbol{e}}\left(\begin{array}{r}0\\0\\-2\end{array}\right).
Triangelns area är alltså
\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|=\frac{1}{2}\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=1\ \mbox{a.e}.
