Tips och lösning till övning 3.18a

SamverkanLinalgLIU

Version från den 21 augusti 2010 kl. 17.04; Geoba (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{f}_3 ska alltså inte vara en linjärkombination i \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2, dvs \displaystyle \boldsymbol{f}_3 ska inte ligga i planet \displaystyle U som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2.

En vektor \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \in U om

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{f}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_3 
                      \Leftrightarrow
                \lambda_1 \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda_2
\begin{pmatrix}1\\1\\{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},

dvs

\displaystyle

\left(\begin{array}{rr} 1&1\\ 1&1\\ 0&-1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) 

                 \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rr} 1&1\\ 0&0\\ 0&-1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2-x_1\\ x_3\end{array}\right).

Alltså måste vi välja

\displaystyle \boldsymbol{f}_3= \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} \notin U = \{x_1-x_2=0\}.

så att \displaystyle \boldsymbol{f}_1 , \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 blir linjärt oberoende och därmed en bas för rummet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.18a