Tips och lösning till övning 3.14
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om det finns \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 ej båda 0, så att
\left(\begin{array}{rr|r}2&1&2\\-1&1&-7\\3&2&1\end{array}\right)
\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&3\\\lambda_2&=&-4\end{array}\right.Vi får alltså att \displaystyle \boldsymbol{u} är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2, ty
Detta betyder att \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Geometriskt betyder det att vi kan nå \displaystyle \boldsymbol{u} om vi går 4 längdenheter i motsatt riktning för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och 3 längdenhet i samma riktning som \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Dessa steg av längdenheter längs respektive vektor har vi kallat för koordinater. Alltså har \displaystyle \boldsymbol{u} koordinaterna 3 och \displaystyle -4 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} och vi skriver
