Tips och lösning till övning 3.13

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning

Vi har tre vektorer i rummet och då räcker med att visa att dessa är linjärt oberoende för att de ska bilda en bas. Vi undersöker linjärt beroende och får Vi har tre vektorer i rummet och då räcker med att visa att dessa är linjärt oberoende för att de ska bilda en bas. Vi undersöker linjärt beroende och får

                \boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow
                \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}

 -1 \end{pmatrix} +\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}

Löser vi systemet så får vi att det endast har den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. Alltså är mängden \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\} linjärt oberoende och därmed bas för rummet.

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} koordinaterna \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 om

               Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}}
               koordinaterna \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3
               om 

Löser vi systemet får vi att \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1. Alltså har vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}= \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ -2 \end{pmatrix} koordinaterna \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} .