SamverkanLinalgLIU

Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 ej alla noll så att

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{0} \displaystyle \Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&0&0\\1&1&2&0\\1&2&1&0\end{array}\right)\Leftrightarrow

\left(\begin{array}{rrr|r}1&3&0&0\\0&0&0&0\\0&-1&1&0\end{array}\right).

Sätter vi \displaystyle \lambda_3=t, så får vi att \displaystyle \lambda_2=t och \displaystyle \lambda_1=-3t. Säter vi in dessa i beroenderelationen så får vi

\displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow -3t \boldsymbol{v}_1 +t \boldsymbol{v}_2+t \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v0}\Leftrightarrow-3 \boldsymbol{v}_1 +\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}.

Här ser vi att vi kan uttrycka en vektor i dem två

andra. Alltså är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3linjärt beroende.