Tips och lösning till övning 3.8b

SamverkanLinalgLIU

Version från den 25 mars 2010 kl. 20.10; Geoba (Diskussion | bidrag)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_1 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att

\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}. 
     Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och
     \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:
\displaystyle \begin{pmatrix}{2\lambda_1+\lambda_2}\\{\lambda_1+\lambda_2}\\{-\lambda_1+\lambda_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 41{-5}\end{pmatrix}\Leftrightarrow 
       \left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&3\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&2\end{array}\right.
       \Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr | r} 2& 1& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 2\end{array}\right).
        Detta system saknar lösning. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_2 inte en linjärkombination av
        \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_2 är utom
         räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför
         inte heller i samma plan som spänns upp av
         \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.8b