SamverkanLinalgLIU

Underlag för dugga 1

1A. Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}

1B. Låt \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix} . Dela upp vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix} som en summa \displaystyle \boldsymbol{u}=$\backslash boldsymbol\{u\}\_\{\backslash parallel\backslash boldsymbol\{v\}\}$+\displaystyle \boldsymbol{u}_{\perp\boldsymbol{v}} .

Svaret skall ges i denna ordning.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}+\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}

2A. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

2B. Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}och \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} och har längden 1.

Svar: \displaystyle \pm\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{\sqrt14}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$$

3A. För vilka t ligger punkterna $(t,0,-2),(t,0,-1),(3,-1,-2)och$\displaystyle (2,-1,-1) i samma plan?

Svar: t=1

3B. För vilka t ligger punkterna \displaystyle (t,-1,2),(t,0,1),(-2,1,1)och \displaystyle (1,0,-1) i samma plan?

Svar: t=-1

4A. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\-2\\a+2\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1, a=-2

4B. För vilka a är vektorerna \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}a+1\\-1\\0\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\a\\-1\end{pmatrix},\displaystyle \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\0\\a\end{pmatrix} linjärt beroende?

Svar: a=1, a=-1

5A. Visa först att \displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&&&\boldsymbol{e}_2&-&\boldsymbol{e}_3\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &- &\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3\\

\boldsymbol{f}_3&=&-\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&&&\end{array}\right.

är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}4\\6\\4\end{pmatrix}

5B. Visa först att \displaystyle \left\{\begin{array}{rclclcl}

\boldsymbol{f}_1&=&\boldsymbol{e}_1\\ \boldsymbol{f}_2&=&\boldsymbol{e}_1 &+ &\boldsymbol{e}_2\\

\boldsymbol{f}_3&=&\boldsymbol{e}_1&+&\boldsymbol{e}_2&+&\boldsymbol{e}_3&\end{array}\right.

är en bas i rummet. Bestäm sedan koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}.

Svar: \displaystyle \boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

Fråga 1

${4}

<dyn:c>${0}</dyn:c> <dyn:c>${1}</dyn:c> <dyn:c>${2}</dyn:c>

//rättning och dynamik var answer = Array(100); fnc_CreateAnswer(2); var i = fnc_Randomize(2);

var q = Array(10);

q[0] = "Låt \\underline{\\textbf{e}} = \\{\\textbf{e}_1,\\textbf{e}_2,\\textbf{e}_3\\} vara en bas i {\\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.";

q[1] = "Låt \\underline{\\textbf{e}} = \\{\\textbf{e}_1,\\textbf{e}_2,\\textbf{e}_3\\} vara en bas i {\\bf R}^3. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.";

var ans = Array(10); var svar = Array(10);

ans[0] = "\displaystyle F_1(\\underline{\\textbf{e}}X) =\\underline{\\textbf{e}}\\begin{pmatrix}x_1\\\\ x_2^2\\\\ x_3^3\\end{pmatrix}\\,\\mbox{.}"

ans[1] = "\displaystyle F_2(\\underline{\\textbf{e}}X) =\\underline{\\textbf{e}}\\begin{pmatrix}x_1+x_2\\\\ x_3\\\\x_1-x_2\\end{pmatrix}\\,\\mbox{.}"

ans[2] = "\displaystyle F_3(x_1\\textbf{e}_1+x_2\\textbf{e}_2+x_3\\textbf{e}_3)=(1+x_1)\\textbf{e}_1+(x_2+x_3)\\textbf{e}_2+x_2\\textbf{e}_3"

svar[0] = "1"

ans[3] = "\displaystyle F_1(x_1\\textbf{e}_1+x_2\\textbf{e}_2+x_3\\textbf{e}_3)=(x_1-x_3)\\textbf{e}_1+2x_1\\textbf{e}_2+(x_1+x_3)\\textbf{e}_3"

ans[4] = "\displaystyle F_2(\\underline{\\textbf{e}}X) =\\underline{\\textbf{e}}\\begin{pmatrix}x_1\\\\ x_2\\\\ x_1\\cdot x_2\\end{pmatrix}\\,\\mbox{.}"

ans[5] = "\displaystyle F_3(\\underline{\\textbf{e}}X) =\\underline{\\textbf{e}}\\begin{pmatrix}2+x_1\\\\ x_1+x_3\\\\ x_3\\end{pmatrix}\\,\\mbox{.}"

svar[1] = "0"

var c = Array(10) c[0] = "" c[1] = "" c[2] = "" c[svar[i]] = "on"

var feedback=new Array(4); feedback[0]=false; //rätt på frågan? {True/False} feedback[1]=3; //maxp på frågan feedback[2]=0; //uppnådda poäng på frågan (högst maxp) feedback[3]=""; var kommentar="";