Processing Math: Done

SamverkanLinalgLIU

a) 1. Vi visar först att F är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att

F(1+2)=(1+2)=(1)+(2)=F(1)+F(2)

2. Vi visar nu att F är homogen:

F()=()=()=F()

Alltså F är både additiv och homogen och därmed linjär.

b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att F är linjär: F(1+2)=((1+2))=((1)+(2))=(1)+(2))=F(1)+F(2)

och

F()=()=(1)=F()

c) F är ej linjär:

                \begin{align}
            F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)
            =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\
                            &=\underline{(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1
            +(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\
   &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2
                                          \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
                \end{align}